Số hữu tỉ là phần kiến thức quan trọng trong toán học mà học sinh nào cũng cần hiểu rõ. Vậy số hữu tỉ là gì, phân loại số hữu tỉ, các phép toán cơ bản và vận dụng kiến thức số hữu tỷ vào giải bài tập như thế nào? Hãy cùng The Dewey Schools cập nhật ngay những kiến thức tổng hợp không thể bỏ qua của nội dung toán học này nhé.
Số hữu tỉ là gì? Số vô tỉ là gì?
1. Khái niệm số hữu tỉ
Khái niệm
Số hữu tỉ là tập hợp các số có thể viết dưới dạng phân số, còn gọi là trường phân số có ký hiệu là Q. Có nghĩa là biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ có thể là một thập phân vô hạn tuần hoàn.
Tức là số hữu tỉ x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và là các số nguyên (a, b ∈ Z,b ≠ 0) và có ký hiệu là Q
Q={ a/b; a,b ∈Z, b≠0}
Ví dụ: Các số hữu tỉ 5, 2/5, -7/9…
Như vậy tập hợp số hữu tỉ Q gồm:
- Số thập phân hữu hạn: 0.5 (½), 0.8 (⅘),…
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0.3333… (⅓), 0.16666… (⅙)…
- Tập hợp số nguyên (Z): -1, 0, 1, 2, 3, 4…
- Tập hợp số tự nhiên (N): 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,…
Tính chất của số hữu tỉ
- Tập hợp số hữu tỉ Q là tập hợp đếm được
- Phép nhân số hữu tỉ biểu diễn dưới dạng: a/b x c/d = a.c/ b.d
- Phép chia số hữu tỉ biểu diễn dưới dạng: a/b : c/d = a.d/ b.c
- Đối số của số hữu tỉ dương là số hữu tỉ âm và ngược lại, tức là tổng của số hữu tỉ và đối số của nó bằng 0.
Lưu ý:
- Số hữu tỉ dương: Số hữu tỉ dương là số hữu tỉ lớn hơn 0, số hữu tỉ dương được biểu diễn bằng dấu chấm nằm bên phải điểm đầu O trên trục số.
Ví dụ: 2/3, 5/9, 3, 7… là số hữu tỉ dương
- Số hữu tỉ âm: Số hữu tỉ âm là số hữu tỉ nhỏ hơn O và được biểu diễn bằng dấu chấm nằm bên trái điểm đầu O trên trục số.
Ví dụ: – 6/11, -5… là số hữu tỉ âm
- Số 0: Số 0 không phải là số hữu tỉ âm hay dương
Xem thêm: Tổng hợp các kiến thức Đạo hàm đầy đủ từ A – Z
Xem thêm: [2023 Update] Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10, 1
2. Khái niệm số vô tỉ
Số vô tỉ trong toán học là tập hợp các số được viết dưới dạng phân số thập phân vô hạn không lặp lại, không phải là số hữu tỉ. Tức là số hữu tỉ không phải là số thực được gọi là số vô tỉ và không thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số như a/b (a, b là các số nguyên). Kí hiệu của tập hợp số vô tỉ là I
I: là tập hợp số vô tỉ
Ví dụ: Các số vô tỉ có thể kể đến là
- √ 2 (căn 2), √ 3 (căn 2)
- Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0.101001000100001000001…
- Số thập phân vô hạn không lặp lại: 1.51421 35623 04890 73095
- Số Pi = 3,14159 26535 89793 26433 83279 50288 23846…
- Số logarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045…
Xem thêm: Nguyên tử khối là gì? Cách hay để tính khối lượng nguyên tử
3. So sánh sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ
Sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ thể hiện trong bảng so sánh sau:
|
Số hữu tỉ |
Số vô tỉ |
| Số hữu tỉ bao gồm số thập phân vô hạn tuần hoàn | Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn tuần hoàn |
| Số hữu tỉ chỉ là phân số | Số vô tỉ bao gồm nhiều loại khác nhau |
| Số hứu tỉ đếm được | Số vô tỉ không đếm được |
| Ví dụ: 11/17, 29, 0,999999 | Ví dụ: 3,235336 |
Phân loại các loại số hữu tỉ phổ biến
Trong toán học phổ biến 2 loại số hữu tỉ là số hữu tỉ âm và số hữu tỉ dương. Cụ thể:
- Số hữu tỉ âm: Số hữu tỉ âm là các số hữu tỉ nhỏ hơn 0
Ví dụ: 5/9, 18, 25/79…
- Số hữu tỉ dương: Số hữu tỉ dương là số hữu tỉ lớn hơn 0
Ví dụ: 1/-9, -105, -55/97…
Xem thêm: Tuyển tập kiến thức công thức lượng giác lớp 10 đầy đủ nhất
Các phép toán cơ bản với số hữu tỉ
Trong chương trình học toán, học sinh sẽ được làm quen với các phép toán cơ bản với số hữu tỉ. Trong đó có:
1. Phép tính cộng trừ số hữu tỉ
Để tính cộng trừ số hữu tỉ cần thực hiện theo các ước như sau:
- Bước 1: Chuyển các số hữu tỉ về dạng phân số
- Bước 2: Áp dụng các quy tắc cộng, trừ và các tính chất của số hữu tỉ để tính toán phép tính cộng trừ số hữu tỉ
Quy tắc cộng trừ số hữu tỉ: Từ các số hữu tỉ được chuyển về dạng phân số tiến hành đưa về các phân số cùng mẫu (rút gọn, quy đồng…). Sau đó cộng, trừ tỉ số và giữ nguyên mẫu số.
Tính chất của số hữu tỉ:
- Tính chất giao hoán: x + y = y + x
- Tính chất cộng với 0: x + 0 = y + 0
- Tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)
- Đối số số hữu tỉ: Mỗi số hữu tỉ đều có 1 đối số
- Giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ: giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x là |x|. Trên trục số giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên. Như vậy:
Nếu x > 0 => |x| = x
Nếu x = 0 => |x| = 0
Nếu x < 0 => |x| = – x
Công thức xác định giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ là:
- Bước 3: Thực hiện việc rút gọn kết quả (nếu có)
Ví dụ: Tính tổng của 5/7 và 4/9
Đáp án: 5/7 + 4/9 = 45/63 + 28/63
= 73/63
Vậy tổng của 5/7 và 4/9 là 73/63
2. Phép tính nhân, chia số hữu tỉ
Để thực hiện phép tính nhân, chia số hữu tỉ tiến hành như sau:
- Phép nhân số hữu tỉ:
Cho 2 số hữu tỉ x = a/b, y = c/d
Phép nhân số hữu tỉ: x . y = a/b . c/d = a.c/b.d
- Phép chia số hữu tỉ:
Cho 2 số hữu tỉ x = a/b, y = c/d
Phép chia số hữu tỉ: x : y = a/b : c/d = a/b . d/c = a . d/ b . c
3. Công thức tính lũy thừa của số hữu tỉ
Học sinh cần nhớ công thức tính lũy thừa của 1 số hữu tỉ như sau:
- Tích của 2 lũy thừa có cùng cơ số: xm . xn = xm + n
- Lũy thừa của lũy thừa: (xm)n = xm . n
- Lũy thừa của 1 tích: (x . y)n = xn . yn
- Lũy thừa của 1 thương: (x : y)n = xn : yn
4. So sánh 2 số hữu tỉ
Để thực hiện việc so sánh 2 số hữu tí cần tiến hành theo các bước sau:
- Bước 1: Chuyển số hữu tỉ về dạng phân số
Cho 2 số hữu tỉ x = a/b, y = c/d
- Bước 2: Chuyển số hữu tỉ về dạng có cùng mẫu số dương
x = a . d/ b . d, y = c . b/ d . b
- Bước 3: So sánh các tử số của phân số
So sánh nếu a . d > c . b => x > y
So sánh nếu a . d < c . b => x < y
So sánh nếu a . d = c . b => x = y
Một số dạng bài tập về số hữu tỉ thường gặp
Để giúp các em học sinh ghi nhớ kiến thức số hữu tỉ và áp dụng hiệu quả trong quá trình học tập, The Dewey Schools gửi đến một số dạng bài tập hay để các em cùng tham khảo và áp dụng.
Dạng 1: Thực hiện các phép tính có liên quan đến số hữu tỉ
Phương pháp giải dạng toán: Để giải các bài tập về thực hiện phép tính có liên quan đến số hữu tỉ học sinh cần nắm vững kiến thức khi thực hiện các phép tính đã nêu trong nội dung phía trên. Đầu tiên cần đưa các số hữu tỉ về dạng phân số, sau đó áp dụng các quy tắc tính toán với phép tính cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ.
Ví dụ 1: Tính -5/3 : 4/7
Đáp án: -5/3 : 4/7 = -5/3 . 7/4 = -5 . 7/ 3 . 4 = -35/12
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính (−35 + 51) : (−37) + (−25 + 61) : (−37)
Đáp án:
(−35+51) : (−37) + (−25+61) : (−37)
= 16 : (- 37) + 36 : (-37)
= (16 + 36) : (-37)
= – 52/37
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Phương pháp giải dạng toán: Phương pháp giải bài tập dạng số 2 học sinh cần xác định số hữu tỉ là số hữu tỉ dương hay số hữu tỉ âm, sau đó tiếp tục thực hiện các bước tiếp the0:
- Nếu số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ dương: Trên trục số, chiều dương trục, tiến hành chia độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau. Sau đó lấy điểm trên chiều dương trục Ox điểm a phần và xác định vị trí số hữu tỉ a/b.
- Nếu số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ âm: Trên trục số, chiều âm trục, tiến hành chia độ dài 1 đơn vị thành b phần bằng nhau. Sau đó lấy điểm trên chiều âm trục Ox điểm a phần và xác định vị trí số hữu tỉ a/b.
Ví dụ: Biểu diễn số hữu tỉ ⅔ trên trục số
Đáp án: Số hữu tỉ ⅔ là số hữu tỉ dương, nên biểu diễn vị trí thuộc chiều dương trục Ox
Chia độ dài 1 đơn vị thành 3 phần bằng nhau => Lấy điểm 2 phần đặt là M
=> Điểm M là điểm biểu diễn số hữu tỉ 2/3
Dạng 3: So sánh số hữu tỉ
Phương pháp giải dạng toán: Để giải bài tập so sánh số hữu tỉ chúng ta cần đưa các số hữu tỉ đã cho về dạng phân số có cùng mẫu số dương, sau đó tiến hành so sánh tử số. Nâng cao hơn chúng ta có thể thực hiện việc so sánh với phân số trung gian để tìm ra đáp án.
Ví dụ: Hãy so sánh số hữu tỉ 2/-7 và -5/13
Đáp án:
2/-7 = 2 . (-13)/ -7 . (-13)= – 26/91
-5/13 = -5 . 7/ 13 . 7 = – 35/91
So sánh: -26 > -35 => 2/-7 > -5/13
Dạng 4: Xác định số hữu tỉ là âm, dương hay 0
Phương pháp giải dạng toán: Giải bài tập dạng 4 học sinh cần căn cứ vào tính chất của số hữu tỉ để xác định số hữu tỉ là số âm, số dương hay là 0.
Ví dụ: Cho số hữu tỉ x = (a – 25)/29, hãy xác định giá trị của a để:
- x là số âm
- x là số dương
- x = 0
Đáp án:
- x là số âm => (a – 25)/29 < 0 => a – 25 < 0 => a < 25
- x là số dương => (a – 25)/29 > 0 => a – 25 > 0 => a > 25
- x = 0 => (a – 25)/29 =0 0 => a – 25 = 0 => a = 25
Dạng 5: Tìm số hữu tỉ trong khoảng theo điều kiện cho trước
Phương pháp giải dạng toán: Nếu đề bài yêu cầu tìm số hữu tỉ theo trong khoảng theo điều kiện cho trước, chúng ta cần đưa các số hữu tỉ về cùng tử số hoặc mẫu số để tìm ra đáp án.
Ví dụ 1: Tìm x sao cho 1/ 5 < x/9 < 4/7 (x là số nguyên)
Đáp án:
1/ 5 < x/9 < 4/7
=> 63/315 < 35 . x/315 < 180/315
=> 63 < 35 . x < 180
=> 63/35 < x < 180/35
=> x = (2, 3, 4, 5)
Ví dụ : Tìm y sao cho 1/9 < 12/y < 3/2
Đáp án:
1/9 < 12/y < 3/2
=> 12/108 < 12/y , 12/8
=> y = (9, 10, … 107)
Dạng 6: Tìm x với số hữu tỉ
Phương pháp giải dạng toán: Với dạng toán tìm x với số hữu tỉ cần phải thực hiện quy đồng khử mẫu số và chuyển x về 1 vế, các số hạng còn lại về 1 về. Từ đó tính giá trị của x
Ví dụ: Tìm x biết x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8
Đáp án:
x . (2/ 3) + 5/ 6 = 1/ 8
=> x . (2/ 3) = 1/ 8 + 5/ 6
=> x = 46/ 48 : 2/ 3
=> x = 23 . 3 / 24 . 2
=> 23/16
Dạng 7: Tìm a để biểu thức là số nguyên
Phương pháp giải dạng toán: Đối với bài toán tìm a nếu tử số không chứa a chúng ta cần sử dụng dấu chia hết, nếu tử số chứa a dùng dấu chia hết hoặc tách tử số theo mẫu số. Nếu bài toán yêu cầu tìm đồng thời cả a, b cần nhóm a hoặc b và đưa về dạng phân thức để tính.
Ví dụ: Tìm số nguyên a với điều kiện 8/(a – 1) là số nguyên
Đáp án:
Điều kiện: a – 1 # 0 => a # 1
Để a là số nguyên => 8 chia hết cho (a – 1)
=> (a – 1) là ước của 8 => U(8) = {-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}
=> (a – 1) = {-8, -4, -2, -1, 2, 4, 8}
=> a = {-7, -3, -1, 0, 3, 5, 9}
Trên đây là các chia sẻ về kiến thức số hữu tỉ được tổng hợp và cập nhật mới nhất. The Dewey Schools hy vọng những thông tin này sẽ giúp ích để các em học sinh có thể áp dụng tốt vào quá trình học toán của mình. Chúc các em tiếp tục xây dựng và tiếp thu kiến thức nâng cao một cách tốt hơn tronghọc tập nhé.
