Nhiều học sinh gặp khó khăn với phần kiến thức Toán học THPT công thức cấp số nhân. Vậy cấp số nhân là gì và tính chất như thế nào? Công thức cấp số nhân đầy đủ và các bài tập liên quan đã được The Dewey Schools tổng hợp ngay trong nội dung dưới đây. Các em học sinh hãy tham khảo ngay để kịp thời bổ sung những kiến thức cần thiết cho mình nhé.
Cấp số nhân là gì? Tính chất cấp số nhân
1. Định nghĩa cấp số nhân
Định nghĩa: Cấp số nhân là dãy số vô hạn hoặc hữu hạn thỏa mãn điều kiện: kể từ số hạng thứ 2 , mỗi số là tích của số hạng đứng ngay trước đó và 1 số cố định gọi là hằng số. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân ký hiệu là q.
Công thức tính cấp số nhân: Un+1 = Un . q (n ∈ N*)
Trong đó:
- Un: cấp số nhân
- q: công bội
- n ∈ N*
Ví dụ: Cho dãy số 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729… đây là cấp số nhân phần tử đầu tiên là U1 = 1, công bội q = 3
Xem thêm: Tuyển tập kiến thức công thức lượng giác lớp 10 đầy đủ nhất
2. Tính chất của cấp số nhân
Cấp số nhân có một số tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu Un là 1 cấp số nhân thì từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của số đứng sau và đứng trước liền kề.
Công thức: (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (Un) trong đó U3 = 4, U5 = 16. Tìm U4 của cấp số nhân?
Đáp án:
Áp dụng công thức: (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1
=> U42 = U3 . U5
=> U42 = 4 . 16
=> U4 = 8
Vậy U4 của cấp số nhân là 8
Xem thêm: Cập nhật kiến thức tổng hợp về số hữu tỉ mới nhất 2023
Tính chất 2: Công bội đặc biệt
- Nếu q = 0: cấp số nhân có dạng U1, 0, 0, 0, 0, 0…
- Nếu q = 1: cấp số nhân có dạng U1, U1, U1, U1, U1…
- Nếu q < 0: cấp số nhân là dãy số không giảm, không tăng
- Nếu q < 1 và q > 0: cấp số nhân (Un) là dãy số giảm
- Nếu q > 1: cấp số nhân (Un) là dãy số tăng
- Nếu U1 = 0: cấp số nhân có dạng 0, 0 ,0 ,0 ,0, 0…
Cập nhật kiến thức các công thức cấp số nhân lớp 11
Cập nhật kiến thức các công thức cấp số nhân lớp 11 đầy đủ nhất giúp học sinh tổng hợp kiến thức. Từ đó dễ dàng học thuộc cũng như áp dụng kiến thức vào giải các bài tập có liên quan. Ngay dưới đây hãy cùng The Dewey Schools tìm hiểu thông tin chi tiết và ví dụ về 5 công thức cấp số nhân các em học sinh nhé.
Xem thêm: [2023 Update] Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10, 11
Xem thêm: Chi tiết các công thức Logarit lớp 12 chuẩn nhất 2023
1. Công thức truy hồi
Cho Un là cấp số nhân thì công thức truy hồi là: Un = Un-1 . q (n ∈ N*)
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (Un), trong đó U2 = 9, q = 3. Tìm công thức truy hồi U4 của cấp số nhân?
Đáp án:
Theo đề bài ta có U2 = 9, q = 3
=> U3 = U2 . 3
=> U3 = 9 . 3
=> U3 = 27
Công thức truy hồi cấp số nhân (Un) là: Un = Un-1 . q
=> U4 = U3 . 3
=> U4 = 27 . 3
=> U4 = 81
2. Công thức tổng quát cấp số nhân
Nếu Un là cấp số nhân có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được tính bằng công thức dưới đây:
Công thức tổng quát cấp số nhân (Un) = U1 . qn-1
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (Un), trong đó có U1 = 6, q = 3. Tính số hạng tổng quát U4?
Đáp án:
Áp dụng công thức: Un = U1 . qn-1
Số hạng tổng quát U4 của cấp số nhân là: U4 = 6 . 34-1
=> U4 = 162
Số hạng tổng quát U4 của cấp số nhân (Un) là 162
3. Công thức tính công bội q của cấp số nhân
Công bội q của cấp số nhân (Un) được tính bằng công thức: q = (Un+1)/Un
Ví dụ 1:
Cho cấp số nhân có U1 = 5, U2 = 20. Tính công bội q?
Đáp án:
Áp dụng công thức q = (Un+1)/Un
=> q = U2/U1
=> q = 20/5
=> q = 4
Công bội của cấp số nhân có U1 = 5, U2 = 20 là q = 4
Ví dụ 2:
Cho cấp số nhân có U5 = 7, U6 = 49. Tính công bội q?
Đáp án:
Áp dụng công thức q = (Un+1)/Un
=> q = U6/U5
=> q = 49/7
=> q = 7
Công bội của cấp số nhân có U5 = 7, U6 = 49 là q = 7
4. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên
Cho cấp số nhân (Un) có công bội q ≠ 1, ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên là:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … + Un
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (Un) có U1 = 4, q = 3. Tính S5?
Đáp án:
Áp dụng công thức tính n số hạng đầu tiên ta có:
S5 = U1( 1- q5)/ (1 – q)
=> S5 = 4 (1 – 35)/ (1 – 3)
=> S5 = 4 . (-242)/ (-2)
=> S5 = 484
Tổng của 5 số hạng đầu tiên S5 = 484
5. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn Un có công bội q (1 < q < 1) là cấp số nhân lùi vô hạn
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S là:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un + …
=> Sn = limSn
=> Sn = lim (U1 . (1 – qn)/ (1 – q)
=> Sn = U1/ (1-q)
Ví dụ:
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Un có Un = 1/ 3n
Đáp án:
Theo đề bài ta có Un = 1/ 3n
=> U1 = ⅓
=> U2 = 1/9
=> Công bội q = U2/ U1 = 1/3
Áp dụng công thức: S = U1/ (1-q)
=> S = 1/3 : (1-⅓)
=> S = ½
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có Un = 1/ 3n là S = 1/2
Các dạng bài tập luyện tập kiến thức cấp số nhân
Rèn luyện thường xuyên các dạng bài tập về công thức tổng quát cấp số nhân là cách hiệu quả để ghi nhớ và hiểu rõ về nội dung kiến thức này. Vậy công thức tính cấp số nhân có các dạng bài tập cơ bản nào? The Dewey Schools đã tổng hợp một số dạng bài tập điển hình để các em học sinh thuận tiện tìm tài liệu và luyện tập.
Dạng 1: Nhân biết công thức CSN
Phương pháp giải bài tập dạng 1:
- Bước 1: Áp dụng công thức tính q = Un+1 / Un (n = 1, n>1)
- Bước 2: Kiểm tra và kết luận
Nếu q thay đổi thì Un không phải là cấp số nhân
Nếu q không đổi thì Un là cấp số nhân
Ví dụ 1:
Cho cấp số nhân (Un) có số hạng thứ 2 là 6, công bội q = 3. Viết 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un)?
Đáp án:
Viết 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un) có công bội q = 3, U2 = 6:
2, 6, 18, 54, 162, 486
Ví dụ 2:
Cho dãy số Un thỏa mãn điều kiện Un = 3n+1. Đây có phải là cấp số nhân không?
Đáp án:
Áp dụng công thức: q = (Un+1)/Un
=> q = 3n+1+1 /3n+1
=> q = 3
Vậy Un là cấp số nhân với U1 = 9, q = 3
Dạng 2: Tính công bội của cấp số nhân
Phương pháp giải bài tập dạng 2:
- Bước 1: Sử dụng các tính chất, công thức tính cấp số nhân
- Bước 2: Biến đổi tính chất, công thức tính cấp số nhân để tính công bội của cấp số nhân
Ví dụ 1:
Cho cấp số nhân (Un) có U2 = 3, U4 = 27. Tính công bội q của cấp số nhân?
Đáp án:
Áp dụng tính chất của cấp số nhân (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1
=> U32 = U2 . U4
=> U32 = 27 . 3
=> U3 = 9
Áp dụng công thức tính công bội q = U3/U2
=> q = 9/3
=> q = 3
Công bội của cấp số nhân (Un) là q = 3
Ví dụ 2: Cho 3 số a, b , c lập thành cấp số nhân và 3 số a, 2b, 3c là cấp số cộng. Tìm công bội q?
Đáp án:
Theo đề bài ta có 3 số a, 2b, 3c lập thành cấp số cộng => a + 3c = 4b
=> 3q2 – 4q + 1 = 0 (a ≠ 0)
=> q = 1 hoặc q = 1/3
Công bội của cấp số nhân q = 1 hoặc q = ⅓
Dạng 3: Tính tổng cấp số nhân của các số hạng trong dãy
Phương pháp giải bài tập dạng 4:
- Bước 1: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân
- Bước 2: Tính tổng cấp số nhân của số hạng trong dãy
Ví dụ 1:
Cho cấp số nhân (Un) trong đó U3 = 2/9, U4 = 2/27
- Tìm 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un)?
- Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un)?
Đáp án:
- Tính công bội q = U4/u3
=> q = ⅓
Liệt kê 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un) là: 2, 2/ 3, 2/9, 2/27, 2/81
- Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân Un áp dụng công thức
S10 = U1 (q2 – 1)/ (q – 1)
=> S10 = 2 ((⅓)2 – 1)/ (1/3 – 1)
=> S10 = 59048/19683
Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un) là S10 = 59048/19683
Ví dụ 2:
Cho cấp số nhân (Un) trong đó:
Tính S = U2 + U4 + U6 + U8 + … + U20
Đáp án:
Áp dụng công thức tính công bội q = Un+1 / Un
=> 
Dáy số U2, U4, U6, U8, …U20 lập thành cấp số nhân có số hạng đầu là U2 = 9, công bội q = 3
=> S = U2 + U4 + U6 + U8 + … + U20
=> S = U2 (1 – 310) / (1 – 3)
=> S = 9/2 . (310 – 1)
Vậy S = U2 + U4 + U6 + U8 + … + U20 = 9/2 . (310 – 1)
Dạng 4: Tìm số hạng bất kỳ của cấp số nhân
Phương pháp giải bài tập dạng 4:
Bước 1: Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1 . qn-1
Bước 2: Tính số hạng bất kỳ của cấp số nhân
Ví dụ 1:
Cho cấp số nhân (Un) có U3 = 8, U4 = 16. Tìm U10 của cấp số nhân?
Đáp án:
Tính công bội q của cấp số nhân: q = U4/U3
=> q = 16/8
=> q = 2
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát: Un = U1 . qn-1
=> U10 = U3 . q10-3
=> U10 = 8 . 27
=> U10 = 1024
Số hạng thứ 10 của cấp số nhân (Un) là 1024
Ví dụ 2:
Tính U1 và công bội q của cấp số nhân (Un) biết: U4 – U2 = 72 và U5 – U3 = 144
Đáp án:
Từ dữ liệu đề bài ta có:
Ta biến đổi:
Vậy cấp số nhân (Un) có U1 = 12, cấp số nhân q = 2
Dạng 5: Tìm cấp số nhân
Phương pháp giải bài tập dạng 5:
- Bước 1: Xác định thành phần cấp số nhân như công bội q, số hạng trong dãy
- Bước 2: Tìm công thức tổng quát cấp số nhân
Ví dụ 1:
Dãy số sau có phải là cấp số nhân không: 1; 0,2; 0,04; 0,008; 0,00016…
Đáp án:
Theo đề bài ta có U1 = 1, U2 = 0,2 => Công bội q = 0,2/1 = 0,2
Từ đó ta có U3 = 0,2 . 0,2 = 0,04
U4 = 0,04 . 0,2 = 0,008
U5 = 0,008 . 0,2 = 0,00016
Vậy dãy số 1; 0,2; 0,04; 0,008; 0,00016… là cấp số nhân có U1 = 1, công bội q = 0,2
Ví dụ 2:
Tìm cấp số nhân (Un) có 7 số hạng biết tổng của 5 số hạng đầu là 31, công bội q = 2
Đáp án:
Áp dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân (Un) ta có:
S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5
= U1 + U1.q + U2.q + U3.q + U4.q
= U1 + U1.q + U1.q.q + U1. q.q.q + U1.q.q.q.q.
= U1 + 2U1 + 4U1 + 8 U1 + 16U1
= 31U1
=> 31 = 31U1
=> U1 = 1
Vậy cấp spps nhân (U1) có 7 số hạng là: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Câu hỏi thường gặp
1. Ví dụ về sơ đồ tư duy cấp số nhân?
Lập sơ đồ tư duy giúp người học phân tích, xâu chuỗi các kiến thức của 1 chủ đề một cách logic và khoa học. Từ đó giúp việc ghi nhớ và áp dụng kiến thức dễ dàng hơn. Có nhiều cách vẽ sơ đồ tư duy công thức cấp số nhân. Dưới đây là 1 ví dụ mời các em học sinh cùng tham khảo.
2. Cách ghi nhớ các công thức cấp số nhân nhanh chóng?
Để ghi nhớ các công thức cấp số nhân nhanh chóng, hiệu quả học sinh cần chú ý:
- Nắm vững các kiến thức về cấp số nhân như định nghĩa, tính chất, công thức…
- Tích cực luyện tập các dạng bài tập có liên quan để hiểu rõ và nhớ các công thức cấp số nhân. Mở rộng kiến thức, tăng cường sự sáng tạo bằng cách giải các bài tập trong sách tham khảo và sách nâng cao.
- Tham khảo ý kiến thầy cô giáo với những nội dung còn thắc mắc hay chưa hiểu, thảo luận với bạn bè để mở rộng kiến thức, cách giải bài tập.
- Tham khảo thông tin trên internet từ các nguồn uy tín: các lớp dạy học toán online từ các giáo viên, các hội nhóm, diễn đàn về toán học.
Trên đây là toàn bộ kiến thức và một số dạng bài tập cơ bản về công thức cấp số nhân. The Dewey Schools hy vọng với nội dung bài viết này các em học sinh có thể ghi nhớ và áp dụng vào giải bài tập công thức CSN một cách thành thạo. Mọi thắc mắc có liên quan vui lòng liên hệ với chúng tôi để được hỗ trợ trong thời gian sớm nhất nhé.
